Beranda > math, random > Jalan Pemabuk

Jalan Pemabuk

Seorang pemabuk jalan dengan arah acak. Arah langkahnya benar2 acak, tidak terpengaruh apapun. Setiap langkahnya berjarak R. Setelah pemabuk tersebut melangkah N kali, hitunglah jarak rms (root mean square atau akar kuadrat rata-rata) pemabuk tersebut dihitung dari titik asalnya!

Jawab:

Misalkan \vec{r_n} adalah vektor posisi pemabuk tersebut setelah melangkah n kali dan \vec{R} adalah vektor langkah pemabuk tersebut yang besarnya R dan arahnya bisa ke mana saja (acak).

Dapat dituliskan bahwa

\vec{r_n} = \vec{r_{n-1}} + \vec{R}

Atau jika kita hanya memperhatikan besarnya saja,

r_n^2 = r_{n-1}^2 + R^2 + 2 r_{n-1} R \cos \theta

di mana \theta adalah sudut yang dibentuk langkah pemabuk tersebut dan vektor posisinya sebelum melangkah.

Jika kita mengambil rata-ratanya saja,

\left \langle r_n^2 \right \rangle = \left \langle r_{n-1}^2 \right \rangle + \left \langle R^2 \right \rangle + \left \langle 2 R r_{n-1} \cos \theta \right \rangle

Karena 2 dan R adalah konstanta, dan r_{n-1} dan \theta adalah dua variabel yang tidak berhubungan, maka dapat dituliskan

\left \langle R^2 \right \rangle = R^2

\left \langle 2 R r_{n-1} \cos \theta \right \rangle = 2 R \left \langle r_{n-1} \right \rangle \left \langle \cos \theta \right \rangle

Karena arah jalan pemabuk tersebut benar2 acak, maka rata2 cosinus dari arah jalannya sama dengan nol

\left \langle  \cos \theta \right \rangle = 0

sehingga bisa kita tuliskan

\left \langle r_n^2 \right \rangle = \left \langle r_{n-1}^2 \right \rangle + R^2

Kita ketahui bahwa r_0 = 0 , yaitu posisi saat pemabuk belum melangkah. Dari persamaan di atas, kita dapatkan

\left \langle r_1^2 \right \rangle = R^2

\left \langle r_2^2 \right \rangle = \left \langle r_1^2 \right \rangle + R^2 = 2 R^2

\left \langle r_3^2 \right \rangle = \left \langle r_2^2 \right \rangle + R^2 = 3 R^2

dan seterusnya sampai

\left \langle r_N^2 \right \rangle = N R^2

Kita bisa dapatkan jarak rms pemabuk tersebut

r_{rms} \equiv \sqrt{ \left \langle r_N^2 \right \rangle} = \sqrt{N} R

Jarak rms ini lebih jelas artinya jika ada sangat banyak pemabuk. Jika pemabuk2 tersebut telah melangkah N kali dan kita mengukur jarak masing2 dari titik asalnya, kemudian kita kuadratkan lalu dirata-ratakan untuk seluruh pemabuk dan hasil rata-ratanya diakarkan, maka nilai yang kita dapat mendekati hasil di atas.

\left \langle r_1^2 \right \rangle = R^2
Kategori:math, random Tag:,
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: