Beranda > math > Sin-Cos dan Eksponen

Sin-Cos dan Eksponen

Dalam mengerjakan hal yang berhubungan dengan gelombang, fasor, dll, kita bisa memakai fungsi trigonometri, tapi kita juga bisa menggunakan fungsi eksponen untuk menggantikan fungsi trigonometri tersebut. Menggunakan fungsi eksponen biasanya membuat masalah jadi lebih mudah diselesaikan.

Hubungan fungsi eksponen dan trigonometri adalah

\begin{array}{rcl} e^{i\theta} &=& \cos \theta + i \sin\theta \\ e^{-i\theta} &=& \cos\theta - i \sin\theta \\ \end{array}

atau bisa juga ditulis dalam bentuk

\begin{array}{rcl} \cos\theta &=& \frac{1}{2} \left ( e^{i \theta} + e^{-i \theta} \right ) \\ \sin\theta &=& \frac{1}{2} \left( e^{i \theta} - e^{-i\theta} \right) \end{array}

Sekarang kita akan mencari asal-usul persamaan-persamaan di atas. Untuk mencarinya, kita gunakan deret Maclaurin

f(x) = f(0) + f'(0) \frac{x}{1!} + f''(0) \frac{x^2}{2!} + f'''(0) \frac{x^3}{3!} + \cdots

Kita lihat deret Maclaurin untuk fungsi eksponensial.

e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

Jika kita mengganti x = i \theta dan x = - i \theta , maka kita dapat

e^{i\theta} = 1 + i \frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^2}{2!} - i \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots

e^{-i\theta} = 1 - i \frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^2}{2!} + i \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^5}{5!} - \cdots

Sekarang kita cari deret Maclaurin untuk fungsi sin dan cos.

\sin{\theta} = \frac{\theta}{1!} - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \cdots

\cos{\theta} = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots

Jika kita menjumlahkan deret Maclaurin untuk e^{i\theta} dan e^{-i \theta}, maka kita dapat

e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \left ( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right )

Atau dapat ditulis

e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \cos\theta

Sekarang coba kita kurangkan deret Maclaurin untuk fungsi eksponensial

e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2 \left ( 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots \right )

Atau

e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2 i \sin\theta

Persamaan ini sama dengan persamaan di atas. Jika kita mengeliminasi e^{-i \theta} atau e^{i\theta}, maka kita dapat

e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta

dan

e^{-i\theta} = \cos\theta - i \sin\theta

Kita sudah mendapatkan hubungan antara fungsi eksponensial dan fungsi sin-cos.

Sekarang coba kita masukkan beberapa nilai \theta . Jika kita memasukkan nilai \theta = \frac{\pi}{2} , maka

\begin{array}{rcl} e^{i\pi/2} &=& \cos (\pi/2) + i \sin(\pi/2) \\ &=& i \\ \end{array}

Jika \theta = \pi , maka

\begin{array}{rcl} e^{i\pi} &=& \cos\pi + i \sin\pi \\ &=& -1 \\ \end{array}

  1. Belum ada komentar.
  1. Maret 29, 2010 pukul 23:42

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: