Beranda > math > Deret MacLaurin dan Taylor

Deret MacLaurin dan Taylor

Pada bahasan tentang sin-cos dan eksponensial, saya menuliskan sedikit tentang deret MacLaurin. Nah, sekarang kita akan membahas asal-usul dari deret MacLaurin dan Taylor.

Ide awal dari deret MacLaurin adalah sebuah fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk deret polinomial. Misalkan

f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \dots

Jika kita memasukkan nilai x = 0 , maka kita dapatkan

f(0) = a_0

Kemudian kita turunkan fungsi tersebut terhadap x , maka kita dapat

f'(x) = a_1 +2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + 4 a_4 x^3 + \dots

Dan jika kita memasukkan nilai x=0 , kita dapat

f'(0) = a_1

Kita turunkan fungsi tersebut sekali lagi

f''(x) = 2 a_2 + (2 . 3) a_3 x + (3 . 4) a_4 x^2 + \dots

Masukkan lagi x = 0 dan kita dapat

f''(0) = 2 a_2

\frac{1}{2} f''(0) = a_2

Ulangi lagi langkah yang selanjutnya, sehingga kita dapat

a_n = \frac{1}{n!} \left ( \frac{d^n f(x)}{d x^n} \right )_{x=0}

Jadi, deret MacLaurin dapat ditulis dengan

f(x) = f(0) + f'(0) \frac{x}{1!} + f''(0) \frac{x^2}{2!} + f'''(0) \frac{x^3}{3!} + \dots

Tapi tidak semua fungsi bisa dinyatakan dalam bentuk tersebut, contohnya f(x) = \frac{1}{x} . Untuk itu, Taylor membuat deret yang lebih umum. Deret Taylor mirip dengan deret MacLaurin, tapi angka yang dimasukkan bukan 0 , tapi sebuah nilai a .

f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!} (x-a)^3 + \dots

Kategori:math Tag:,
  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: