Beranda > physics, relativistic > Pemantulan pada Cermin Relativistik

Pemantulan pada Cermin Relativistik

Pada pemantulan pada cermin biasa, sudut pantulnya sama dengan sudut datangnya. Begitu juga frekuensinya, frekuensi cahaya pantul sama dengan frekuensi cahaya datang. Tapi tidak demikian jika cermin tersebut bergerak.

Jika cerminnya bergerak, frekuensi cahaya pantul akan berbeda dari frekuensi cahaya datang. Sudut pantulnya pun berbeda dari sudut datangnya. Kali ini akan kita turunkan hubungan frekuensi dan sudut pantul pada pemantulan cermin bergerak dengan menggunakan sifat partikel cahaya.

Tinjau sistem seperti gambar di bawah.

pemantulan pada cermin bergerakCahaya datang mempunyai energi sebesar

E_i = h f_i \qquad (1)

dengan f_i adalah frekuensi cahaya datang.

Cahaya datang mempunyai momentum sebesar

\displaystyle \textbf{p}_{\textbf{i}} = \frac{h f_i}{c} \cos \alpha\ \textbf{i} + \frac{h f_i}{c} \sin\alpha\ \textbf{j} \qquad (2)

dengan \alpha adalah sudut datang relatif terhadap garis normal.

Sekarang tinjau cahaya pantul. Cahaya pantul mempunyai energi sebesar

E_r = h f_r \qquad (3)

dengan f_r adalah frekuensi cahaya pantul. Sedangkan momentum cahaya pantul adalah

\textbf{p}_{\textbf{r}} = -\frac{h f_r}{c} \cos\beta\ \textbf{i}+ \frac{h f_r}{c} \sin\beta\ \textbf{j}\qquad (4)

Dari persamaan (2) dan (4), terlihat bahwa adanya perubahan momentum sebesar

\begin{array}{rcl} \Delta \textbf{p} &=& \textbf{p}_{\textbf{r}} - \textbf{p}_{\textbf{i}} \\ &=& -\frac{h}{c} \left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha \right)\ \textbf{i} + \frac{h}{c} \left( f_r \sin\beta - f_i \sin\alpha \right)\ \textbf{j} \qquad (5) \end{array}

Perubahan momentum mengindikasikan adanya gaya yang bekerja pada foton. Misalkan pada selang waktu \Delta t ada \Delta N foton yang terpantul dari cermin maka gaya yang bekerja pada foton, F_f adalah

\begin{array}{rcl} \textbf{F}_{\textbf{f}} &=& \Delta N \frac{\Delta \textbf{p}}{\Delta t} \\ &=& \frac{\Delta N}{\Delta t} \frac{h}{c} \left[ -\left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha \right)\ \textbf{i} + \left( f_r \sin\beta - f_i \sin\alpha \right)\ \textbf{j}\right ]\qquad (6) \end{array}

Adanya gaya pada foton, berarti foton juga memberikan gaya pada cermin dengan besar yang sama dan arah yang berlawanan. Agar kecepatan cermin tidak berubah, harus ada gaya eksternal yang bekerja pada cermin dengan besar yang sama dan arah yang berlawanan dengan gaya dari foton ke cermin. Jadi, dapat dituliskan bahwa gaya eksternalnya, \textbf{F}_{\textbf{ext}} sama dengan

\textbf{F}_{\textbf{ext}} = \textbf{F}_{\textbf{f}}\qquad(7)

Gaya eksternal yang bekerja pada cermin memberikan usaha pada sistem. Usaha yang diberikan ini mengubah energi foton sehingga frekuensi foton berubah.

Usaha yang diberikan gaya eksternal ini jika cermin bergerak dengan kecepatan \textbf{v} = v\ \textbf{i} adalah

P = \textbf{F}_{\textbf{ext}} \cdot \textbf{v} \qquad(8)

Dari persamaan (6), (7), dan (8), kita dapatkan

P = -\frac{\Delta N}{\Delta t} \frac{v}{c} h \left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha\right) \qquad(9)

Daya ini akan mengubah energi dari foton sehingga dapat dituliskan

P = \frac{\Delta N}{\Delta t}\left (E_r - E_i\right) \qquad(10)

Dengan mensubstitusi E_r dan E_i dari persamaan (1) dan (3), kita dapat

P = \frac{\Delta N}{\Delta t} h \left(f_r - f_i\right) \qquad(11)

Dengan menyamakan persamaan (9) dan (11), kita dapatkan

f_r - f_i = -\frac{v}{c} \left( f_r \cos\beta +f_i\cos\alpha \right)\qquad(12)

Kita punya dua variabel yang tidak diketahui, yaitu f_r dan \beta, tapi kita hanya punya satu persamaan yang menghubungkannya, yaitu persamaan (12). Kita butuh satu persamaan lagi yang menghubungkan kedua variabel tersebut.

Sistem pemantulan foton pada cermin dapat dimodelkan seperti bola yang memantul pada dinding yang sangat licin sehingga gaya yang sejajar dengan permukaan cermin sama dengan nol. Jadi, kita dapatkan

f_r \sin\beta = f_i \sin\alpha \qquad(13)

Sekarang kita sudah punya dua persamaan. Dengan menggunakan aljabar untuk menyelesaikan persamaan (12) dan (13), kita dapatkan hasil

\frac{f_r}{f_i} = \frac{1+\frac{v^2}{c^2}-2\frac{v}{c}\cos\alpha}{1-\frac{v^2}{c^2}} \qquad(14)

dan

\sin\beta = \left( \frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}-2\frac{v}{c}\cos\alpha} \right) \sin\alpha\qquad(15)

Hasil yang kita dapat sama dengan hasil yang diperoleh Einstein, walaupun dalam bentuk yang berbeda untuk \beta .

  1. Maret 31, 2010 pukul 15:12

    Eh, ini bagian PKM kelompokmu bukan?

    • copycat91
      April 1, 2010 pukul 13:30

      kok tau, zan?

  1. April 1, 2010 pukul 14:53

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: