Beranda > linear algebra, math > Fungsi Eigen dan Nilai Eigen

Fungsi Eigen dan Nilai Eigen

Jika sebuah operator, \hat{\textbf{A}} bekerja pada suatu fungsi, \phi , dan hasilnya sama dengan fungsi tersebut dikalikan sebuah konstanta, \lambda , maka persamaan ini memenuhi persamaan eigenvalue

\hat{\textbf{A}}\phi = \lambda \phi

Variabel \phi disebut fungsi eigen (eigenfunction) dan \lambda disebut nilai eigen (eigenvalue).

Persamaan eigenvalue ini biasa ditemukan pada persamaan gerak osilasi terkopel (coupled oscillation), persamaan gelombang pada quantum mechanics, dll.

Sebagai contoh, misalnya kita mendapatkan persamaan seperti di bawah ini

\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

Untuk menyelesaikannya, kita gunakan matrix identitas

\lambda \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

Jadi, persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix}

Dengan memindahruaskan sisi kanan persamaan ke sisi kiri, kita dapatkan

\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & 1-\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y \end{bmatrix} = 0

Untuk mendapatkan hasil non-trivia (bukan solusi x=y=0), maka determinan matrix pertama sama dengan nol

\begin{vmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & 1-\lambda\end{vmatrix} = 0

Jadi, kita bisa mendapatkan persamaan

(4-\lambda) (1-\lambda) = -2

Solusi eigenvalue dari persamaan tersebut adalah

\lambda_1 = 2 \quad \mbox{ dan }\quad \lambda_2 = 3

Untuk mendapatkan eigenfunction, kita masukkan eigenvalue yang telah kita dapatkan ke persamaan awal.

\begin{array}{rcl}\begin{bmatrix}4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} &=& \lambda \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 4 x - 2 y \\ x + y \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} \lambda x \\ \lambda y \end{bmatrix} \end{array}

Dari persamaan di atas, kita bisa mendapatkan 2 persamaan

\begin{array}{rcl} 4 x - 2 y &=& \lambda_i x \\ x + y &=& \lambda y \end{array}

Jika kita memasukkan nilai \lambda = 2 ke dua persamaan di atas, kita dapat

x = y

Dan jika kita memasukkan nilai \lambda = 3, kita dapat

x = 2 y

Yang kita dapatkan adalah perbandingannya. Jika kita ingin mendapatkan nilainya, kita harus meninjau syarat lain seperti normalisasi, keadaan batas (boundary condition), dll.

Perkalian matrix ini hanya salah satu contoh dari persamaan eigenvalue yang biasa ditemukan. Ada banyak macam persamaan eigenvalue, dan belum ada (yang saya ketahui) cara umum untuk menyelesaikan semua jenis persamaan eigenvalue.

  1. ibrahim
    Mei 12, 2010 pukul 02:44

    di olimpiade internasional ada ngga yg seprti firman tuliskan itu

  2. Juni 1, 2010 pukul 05:18

    Meskipun kamu bukan Anak Saya tapi saya sangat bangga padamu. Kamu Luar biasa….
    Apa sih rahasianya supaya bisa jenius seperti kamu.

  3. okky
    Juni 18, 2010 pukul 03:34

    kuncinya adalah mau berusaha dengan keras.

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: