Beranda > physics, quantum physics > Operator dalam QM

Operator dalam QM

Dalam QM (Quantum Mechanics), hal yang banyak dibahas adalah fungsi gelombang. Maksud dari fungsi gelombang di sini adalah gelombang probabilitas. Semakin besar simpangan gelombang pada suatu titik, semakin besar pula probabilitas menemukan partikel di titik tersebut. Misalkan suatu partikel mempunyai fungsi gelombang \psi(x), maka probabilitas menemukan partikel tersebut di antara titik x  dan x+\textrm{d}x adalah

P(x) \textrm{d}x = |\psi(x)|^2 \textrm{d}x \qquad(1)

Jika fungsi gelombang dari suatu sistem diketahui, banyak parameter fisika yang bisa didapat dari sistem tersebut, seperti momentum, energi, momentum sudut, dll.

Untuk mendapatkan parameternya, biasanya dikerjakan sebuah operator pada fungsi gelombang tersebut. Sebagai contoh, operator momentum sumbux adalah

\hat{p_x} = -\textrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial x} \qquad(2)

Jadi, untuk mendapatkan momentum sumbu x dari sebuah partikel dengan fungsi gelombang \psi adalah

\begin{array}{rcl} \hat{p_x} \psi &=& p_x \psi \\ -\textrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}&=& p_x \psi \end{array} \qquad(3)

dengan p_x adalah besar momentum partikel pada sumbu x.

Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan di atas disebut eigenstate untuk momentum pada sumbu x. Akan tetapi, fungsi gelombang tidak selalu merupakan eigenstate. Apabila demikian, fungsi gelombangnya dapat dinyatakan sebagai superposisi dari beberapa eigenstate.

Salah satu contoh eigenstate untuk momentum pada sumbu x adalah

\psi = A e^{-\textrm{i}k x} \qquad(4)

Untuk membuktikan bahwa persamaan (4) adalah eigenstate dari momentum sumbu x, kita kerjakan operator \hat{p_x} pada fungsi gelombang tersebut.

\begin{array}{rcl}\hat{p_x}\psi &=& -\textrm{i}\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x}\\ &=& \hbar k A e^{-\textrm{i}k x}\\ &=& p \psi \end{array} \qquad(5)

Persamaan (5) telah menunjukkan bahwa \psi adalah eigenstate untuk momentum sumbu x dengan besar momentum sumbu x sama dengan p_x = \hbar k.

Beberapa contoh operator yang sering digunakan dalam quantum mechanics adalah

  • Operator momentum: \qquad \hat{\textbf{p}} = -\textrm{i} \hbar \nabla
  • Operator energi (Hamiltonian time-dependent): \qquad \hat{H} = \textrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t}
  • Operator energi (Hamiltonian time-independent): \qquad \hat{H} = \hat{\textbf{p}}^2/2 m + V(x)
  • Operator momentum sudut sumbu z\qquad \hat{L_z} =-\textrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial \phi}
  • Operator momentum sudut kuadrat: \qquad \hat{L}^2 = -\hbar^2\left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}\right]
  1. Belum ada komentar.
  1. April 19, 2010 pukul 14:35

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: