Beranda > physics, quantum physics > Fungsi Gelombang dalam Ruang dan Momentum

Fungsi Gelombang dalam Ruang dan Momentum

Seperti yang telah dijelaskan pada post sebelumnya, fungsi gelombang sangat sering digunakan dalam mekanika kuantum. Jika pada post sebelumnya yang dibahas adalah fungsi gelombang dalam ruang, pada post ini kita tambahkan satu lagi fungsi gelombang yaitu fungsi gelombang dalam momentum (momentum space). Fungsi gelombang dalam momentum space ini menggambarkan probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara p dan p+\mbox{d}p.

Misalkan sebuah momentum mempunyai fungsi gelombang dalam momentum space \phi(p), maka probabilitas menemukan partikel dengan momentum antara p dan p+\mbox{d}p adalah

P(p) \mbox{d}p = |\phi(p)|^2 \mbox{d}p . \qquad (1)

Dengan |\phi(p)|^2 adalah perkalian fungsi gelombang dengan konjugatnya,

|\phi(p)|^2 = \phi(p)\ \phi^{*}(p) . \qquad(2)

Fungsi gelombang dalam momentum space ini juga telah dinormalisasi.

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p)\ \phi^{*}(p) \mbox{d}p = 1 . \qquad(3)

Sekarang kita akan mencari hubungan fungsi gelombang dalam momentum space dan fungsi gelombang dalam ruang untuk partikel bebas. Misalkan sebuah partikel bebas mempunyai fungsi gelombang dalam ruang \psi(x) dan fungsi gelombang dalam momentum space \phi(p). Fungsi gelombang dalam ruang dapat dinyatakan sebagai superposisi dari keadaan partikel dengan berbagai macam nilai momentum sehingga dapat ditulis sebagai

\psi(x) = A [\phi(p_1) e^{i p_1 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_2) e^{i p_2 x/\hbar}\mbox{d}p + \phi(p_3) e^{i p_3 x/\hbar}\mbox{d}p + \dots] \qquad(4)

dengan A adalah konstanta normalisasi dan faktor e^{i p_n x/\hbar} menggambarkan fasa gelombang untuk keadaan dengan momentum p_n . Karena momentum sebuah partikel bebas bisa berapa saja, persamaan (4) dapat dituliskan sebagai

\psi(x) = A \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x/\hbar}\mbox{d}p .\qquad(5)

Dari persamaan (5), kita bisa dapatkan konjugat dari \psi(x) , yaitu

\psi^*(x) = A^*\int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi^*(p') e^{-i p' x/\hbar} \mbox{d}p' .\qquad(6)

dengan tanda kutip pada momentum untuk membedakan dengan momentum pada persamaan (5).

Seperti fungsi gelombang pada momentum space, fungsi gelombang dalam ruang juga ternormalisasi,

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x = 1 . \qquad(7)

Dengan mensubstitusi \psi(x) dari persamaan (5) dan \psi^*(x) dari persamaan (6) ke persamaan (7), kita dapatkan

\begin{array}{rcl} 1 &=& \int\limits_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\ \psi^*(x) \mbox{d}x \\ &=&A A^* \int\limits_{-\infty}^ {\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d}p\ \mbox{d} p'\ \mbox{d}x . \end{array} \qquad(8)

Dengan menggunakan identitas fungsi delta Dirac,

\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{i (k-k') x} \mbox{d}x = 2 \pi \delta(k-k')

dan

\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-x_0) \mbox{d}x = f(x_0) ,

persamaan (8) menjadi

\begin{array}{rcl} 1 &=& |A|^2 \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') e^{i (p-p') x/\hbar}\ \mbox{d} x\ \mbox{d}p'\ \mbox{d} p \\ &=& 2\pi \hbar |A|^2 \int \limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p') \delta(p-p') \mbox{d}p' \mbox{d}p \\ &=& \int \limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) \phi^*(p)\mbox{d}p .\end{array} \qquad(9)

Dengan menggunakan kondisi normalisasi pada persamaan (3), kita dapatkan

1 = 2 \pi \hbar |A|^2 .

Jadi, kita dapatkan konstanta normalisasi sebesar

\begin {array}{rcl}|A|^2 &=& \frac{1}{2\pi\hbar} \\ A &=&\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} .\end{array} \qquad(10)

Dengan memasukkan persamaan (10) ke persamaan (5), kita dapatkan hubungan fungsi gelombang dalam ruang dan fungsi gelombang dalam momentum space.

\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \phi(p) e^{i p x/ \hbar}\ \mbox{d}p .\qquad(11)

  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: