Pemantulan pada Cermin Relativistik

Beranda > physics, relativistic > Pemantulan pada Cermin Relativistik

Pemantulan pada Cermin Relativistik

Maret 31, 2010 mfkasim Tinggalkan komentar Go to comments

Pada pemantulan pada cermin biasa, sudut pantulnya sama dengan sudut datangnya. Begitu juga frekuensinya, frekuensi cahaya pantul sama dengan frekuensi cahaya datang. Tapi tidak demikian jika cermin tersebut bergerak.

Jika cerminnya bergerak, frekuensi cahaya pantul akan berbeda dari frekuensi cahaya datang. Sudut pantulnya pun berbeda dari sudut datangnya. Kali ini akan kita turunkan hubungan frekuensi dan sudut pantul pada pemantulan cermin bergerak dengan menggunakan sifat partikel cahaya.

Tinjau sistem seperti gambar di bawah.

Cahaya datang mempunyai energi sebesar

$E_i = h f_i \qquad (1)$

dengan $f_i$ adalah frekuensi cahaya datang.

Cahaya datang mempunyai momentum sebesar

$\displaystyle \textbf{p}_{\textbf{i}} = \frac{h f_i}{c} \cos \alpha\ \textbf{i} + \frac{h f_i}{c} \sin\alpha\ \textbf{j} \qquad (2)$

dengan $\alpha$ adalah sudut datang relatif terhadap garis normal.

Sekarang tinjau cahaya pantul. Cahaya pantul mempunyai energi sebesar

$E_r = h f_r \qquad (3)$

dengan $f_r$ adalah frekuensi cahaya pantul. Sedangkan momentum cahaya pantul adalah

$\textbf{p}_{\textbf{r}} = -\frac{h f_r}{c} \cos\beta\ \textbf{i}+ \frac{h f_r}{c} \sin\beta\ \textbf{j}\qquad (4)$

Dari persamaan (2) dan (4), terlihat bahwa adanya perubahan momentum sebesar

$\begin{array}{rcl} \Delta \textbf{p} &=& \textbf{p}_{\textbf{r}} - \textbf{p}_{\textbf{i}} \\ &=& -\frac{h}{c} \left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha \right)\ \textbf{i} + \frac{h}{c} \left( f_r \sin\beta - f_i \sin\alpha \right)\ \textbf{j} \qquad (5) \end{array}$

Perubahan momentum mengindikasikan adanya gaya yang bekerja pada foton. Misalkan pada selang waktu $\Delta t$ ada $\Delta N$ foton yang terpantul dari cermin maka gaya yang bekerja pada foton, $F_f$ adalah

$\begin{array}{rcl} \textbf{F}_{\textbf{f}} &=& \Delta N \frac{\Delta \textbf{p}}{\Delta t} \\ &=& \frac{\Delta N}{\Delta t} \frac{h}{c} \left[ -\left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha \right)\ \textbf{i} + \left( f_r \sin\beta - f_i \sin\alpha \right)\ \textbf{j}\right ]\qquad (6) \end{array}$

Adanya gaya pada foton, berarti foton juga memberikan gaya pada cermin dengan besar yang sama dan arah yang berlawanan. Agar kecepatan cermin tidak berubah, harus ada gaya eksternal yang bekerja pada cermin dengan besar yang sama dan arah yang berlawanan dengan gaya dari foton ke cermin. Jadi, dapat dituliskan bahwa gaya eksternalnya, $\textbf{F}_{\textbf{ext}}$ sama dengan

$\textbf{F}_{\textbf{ext}} = \textbf{F}_{\textbf{f}}\qquad(7)$

Gaya eksternal yang bekerja pada cermin memberikan usaha pada sistem. Usaha yang diberikan ini mengubah energi foton sehingga frekuensi foton berubah.

Usaha yang diberikan gaya eksternal ini jika cermin bergerak dengan kecepatan $\textbf{v} = v\ \textbf{i}$ adalah

$P = \textbf{F}_{\textbf{ext}} \cdot \textbf{v} \qquad(8)$

Dari persamaan (6), (7), dan (8), kita dapatkan

$P = -\frac{\Delta N}{\Delta t} \frac{v}{c} h \left( f_r \cos\beta + f_i \cos\alpha\right) \qquad(9)$

Daya ini akan mengubah energi dari foton sehingga dapat dituliskan

$P = \frac{\Delta N}{\Delta t}\left (E_r - E_i\right) \qquad(10)$

Dengan mensubstitusi $E_r$ dan $E_i$ dari persamaan (1) dan (3), kita dapat

$P = \frac{\Delta N}{\Delta t} h \left(f_r - f_i\right) \qquad(11)$

Dengan menyamakan persamaan (9) dan (11), kita dapatkan

$f_r - f_i = -\frac{v}{c} \left( f_r \cos\beta +f_i\cos\alpha \right)\qquad(12)$

Kita punya dua variabel yang tidak diketahui, yaitu $f_r$ dan $\beta$ , tapi kita hanya punya satu persamaan yang menghubungkannya, yaitu persamaan (12). Kita butuh satu persamaan lagi yang menghubungkan kedua variabel tersebut.

Sistem pemantulan foton pada cermin dapat dimodelkan seperti bola yang memantul pada dinding yang sangat licin sehingga gaya yang sejajar dengan permukaan cermin sama dengan nol. Jadi, kita dapatkan

$f_r \sin\beta = f_i \sin\alpha \qquad(13)$

Sekarang kita sudah punya dua persamaan. Dengan menggunakan aljabar untuk menyelesaikan persamaan (12) dan (13), kita dapatkan hasil

$\frac{f_r}{f_i} = \frac{1+\frac{v^2}{c^2}-2\frac{v}{c}\cos\alpha}{1-\frac{v^2}{c^2}} \qquad(14)$

dan

$\sin\beta = \left( \frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1+\frac{v^2}{c^2}-2\frac{v}{c}\cos\alpha} \right) \sin\alpha\qquad(15)$

Hasil yang kita dapat sama dengan hasil yang diperoleh Einstein, walaupun dalam bentuk yang berbeda untuk $\beta$ .

Kategori:physics, relativistic Tag:cermin, physics, relativitas

Komentar (2) Trackbacks (1) Tinggalkan komentar Lacak balik

Fauzan

Maret 31, 2010 pukul 15:12

Balas

Eh, ini bagian PKM kelompokmu bukan?
- copycat91
  
  April 1, 2010 pukul 13:30
  
  Balas
  
  kok tau, zan?